”

<선형대수>

<미분>

ax^n →(미분)→ anx^(n-1)

a*x^n →(적분)→ a/(n+1) * x^(n+1) + c

• 상미분d/dx f(x) : 하나의 변수를 가진 함수를, 하나의 변수x로 미분 | f'(x) == 도함수 == d/dx f(x) == dy/dx == 기울기 == @경사하강법 활용

ㄴd/dx f(x) = rx^(r-1) 미분기본공식

ㄴd/dx (f(x)+g(x)) = d/dx f(x) + d/dx g(x) 합 법칙

ㄴd/dx (f(x)*g(x)) = f(x) * d/dx g(x) + g(x) * d/dx f(x) 곱 법칙

ㄴd/dx k(f(x)) = k * d/dx f(x) 단, k는 상수

ㄴd/dx a^x = a^x log__a 단, a는 실수

ㄴd/dx e^x = e^x 단, e는 자연상수

ㄴd/dx log_e_x = 1/x 자연로그함수의 미분

• *연쇄법칙 : y = f(u), u = f(x) 일때, dy/dx = dy/du * du/dx

ㄴ증명

dy/dx = lim[△x→0] { f(g(x+△x) - g(x)) / △x }

dy/dx = lim[△x→0] { f(g(x+△x) - g(x)) / (g(x+△x) - g(x))

• (g(x+△x) - g(x)) / △x }

여기서 △u = g(x+△x) - g(x) 이면, △x→0 일때 △u→0 이므로

dy/dx = lim[△x→0] { f(△u+g(x) - g(x)) / △u

• △u / △x }

dy/dx = lim[△x→0] { f(g(x)+△u - g(x)) / △u

• △u / △x }

dy/dx = lim[△x→0] { f(g(u)+△u - g(u)) / △u

• △u / △x }

dy/dx = lim[△u→0] { f(g(x)+△u - g(x)) / △u } * lim[△x→0] { △u / △x }

dy/dx = dy/du * du/dx == @역전파 활용

• 편미분∂/∂x f(x,y) : 여러개의 변수를 가진 함수를, 하나의 변수x로 미분 | 편도함수 == ∂ == 라운드 디, 파셜 디, 파셜

ㄴx로 편미분할때 다른 변수들은 전부 상수처리해버림, 좌표계에서 생각해볼때 △x→0 이면, 나머지.. 예컨데 y는 변하지 않는 상수처럼 됨으로

ㄴ다른 변수들.. 예컨데 y를 고정시켰을때 x의 변화에 따른 f(x,y)의 변화율이 됨. ==@역전파 활용

• 전미분 : 여러개의 변수를 가진 함수를, 여러개의 변수x,y,z(개념상 x1,x2,x3)로 한번에 미분

ㄴ증명 z = f(x,y) 일때, z를 전미분하는 것을 dz라고 한다. 모든 인자-변수의 극소변화량에 대한 z변화량이 z의 전미분이다.

△z = f(x+△x, y+△y) - f(x, y)

△z = f(x+△x, y+△y) - f(x, y+△y) + f(x, y+△y) - f(x, y)

△z = [{f(x+△x, y+△y) - f(x, y+△y)} /△x] *△x + [{f(x, y+△y) - f(x, y)} /△y] *△y

여기서 △x→0, △y→0 로 무한소에 수렴시키고, 미분의 의미를 살려서 1항은 △y = 0, 2항은 △x = 0으로 보고, 각 항의 다른 변수에 대한 편미분의 형태로 바라보면...

lim[△x→0, △y→0] △z = lim[△x→0, △y→0] [{f(x+△x, y+△y) - f(x, y+△y)} /△x] *△x

• lim[△x→0, △y→0] [{f(x, y+△y) - f(x, y)} /△y] *△y

dz = ∂/∂x f(x, y) + ∂/∂y f(x, y)

dz = ∂/∂x z + ∂/∂y z

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

여기서 여러변수 x,y,z,....가 x0,x1,x2,x3... 이라고 하면, 다음과 같이 일반화 가능

dz = ∂z/∂x0 dx0 + ∂z/∂x1 dx1

dz = ∂z/∂x0 dx0 + ∂z/∂x1 dx1 + ∂z/∂x2 dx2 + ...

dz = ∑[i] ∂z/∂xi dxi

dz/dw = ∑[i] ∂z/∂xi dxi/dw ...@다변수의 합성함수 증명에 쓰임

• *다변수의 연쇄법칙

ㄴ변수가 하나인 합성함수를 다변수로 갖는 z에 대한, 연쇄법칙과 그 증명 z = f(x, y), x = f(w), y = g(w) 일때, 전미분 dz를 w의 미분 dw로 나눈 값을 구해보자.

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dx ..전미분의 증명과정에서 도출

dz/dw = ∂z/∂x * dx/dw + ∂z/∂y * dy/dw ...@다변수의 합성함수로 연쇄법칙 증명에 쓰임

여기서 여러변수 x,y,z,....가 x0,x1,x2,x3... 이라고 하면, 다음과 같이 일반화 가능

dz/dw = ∂z/∂x0 * dx0/dw + ∂z/∂x1 * dx2/dw

dz/dw = ∂z/∂x0 * dx0/dw + ∂z/∂x1 * dx2/dw + ∂z/∂x2 * dx2/dw + ...

dz/dw = ∑[i] ∂z/∂xi * dxi/dw

ㄴ다변수의 합성함수를 다변수로 갖는 z에 대한, 연쇄법칙과 그 증명 z = f(x, y), x = f(w, v), y = g(w, v) 일때, 연쇄법칙을 사용하여, 마치 x, y에 대해 편미분하듯이 z를 w, v 각각에 대해서 편미분의 형태로 나타낼 수 있다.

∂z/∂w = ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂w 이므로 w에 대해, j로 일반화하면,

∂z/∂wj = ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂wj 이고 이 식을 이용해서 행렬로 표현하면, 다변수를 wj개 갖는 합성함수를 인자로 하는, 여러 다른 함수로 정의된 변수를 다시 다변수 인자로 하는 z에 대해서... 각각의 wj에 대한 편도함수를 한번에 구할 수 있다.(w에 대한 편미분을 한번에 실행)

{ ∂z/∂w1, ∂z/∂w2, ∂z/∂w3, ... , ∂z/∂wj } = { ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂w1, ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂w2, ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂w3, ...... , ∑[i] ∂z/∂xi *∂xi /∂wj }

= { ∂z/∂x1, ∂z/∂x2, ∂z/∂x3, ... ,∂z/∂xi } dot { ∂x1/∂w1, ∂x1/∂w2, ∂x1/∂w3, ...... , ∂x1/∂wj

  ∂x2/∂w1, ......

  ∂x3/∂w1, ......

  ......

  ∂xi/∂w1, ......    ∂xi/∂wj }

• *유리무리함수의 미분[

• *삼각함수의 미분

• *지수로그함수의 미분

• *음함수의 미분

• *응용

ㄴ접근-근사선형

ㄴ함수의 그래프

ㄴ최대,최소

ㄴ로피탈정리 : 부정형 함수, 극한 구하기 [ 0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞*0 ]

<적분> A = ∫[a~b] dA = ∫[a~b] f(x)dx = [F(x)][a~b] = F(b) - F(a)

ax^n →(미분)→ anx^(n-1)

a*x^n →(적분)→ a/(n+1) * x^(n+1) + c

• 부정적분 : 역미분

• 정적분 : 면적계산

ㄴ특이적분

ㄴ넓이

ㄴ부피

ㄴ길이

ㄴ겉넓이

• *치환적분

• *부분적분

• *유리함수의 적분